Question

已知三角形ABC的面积为1,D、E分别是AB、AC边上的点,CD、BE交于点F过点F作FM‖AB，FN‖AC，交BC边于M、N

（1）当AD：DB=1：2，AE：EC=3时，求三角形FMN的面积
（2）当AD：DB=a，AE：EC=b是，用含a、b的代数式表示三角形FMN的面积

Answer 1

根据FM‖AB,FN‖AC易知，三角形FMN和ABC相似，求FMN的面积只需得知相似比即可

1.当D,E是 AB,AC边的中点时
F为中线交点,所以CF=2DF,
又因为三角形CFM和CDB相似，所以，MF/DB=2/3
所以，MF/AB=1/3
即相似比为1/3，△FMN的面积为1/9

3.过点A做AO平行于BF，交CD延长线于O
因为三角形AOD和BFD相似，所以BF/AO=BD/AD=1/a
因为三角形CEF和CAO相似，所以EF/AO=CE/CA=1/（b+1)
所以BF/EF=(b+1)/a
根据三角形BFN和BEC相似，得到，FN/EC=BF/BE=（b+1) / (b+a+1)
所以 FN/AC=1/(a+b+1)
所以相似比就是1/(a+b+1)
三角形FMN的面积是 上述相似比的平方

2.将数据代到（3）结果中得，面积为 4/81

Answer 2

(1) S=2/3AB*1/4AC*1/3BC=1/18
(2) S=a/(1+a)*1/（1+b）*1/3