Question

高一的数学题

已知函数F（x）=（1÷x²）+丨x²-a丨（常数a＞0）
求函数 F（x）的定义域，并判断 F（x）的奇偶性
试研究函数 F（x）的定义域的单调性，并利用单调性的定义域给出证明

Answer 1

定义域 x≠0;

∵(-x)²=x²
∴F(x)是偶函数

当x²>a时，
F(x)=1/x²+x²-a=(1/x+x)²-2-a=[(1+x)/x]²-(2+a)
当x²<a时，
F(x)=1/x²-x²+a=(1/x-x)²+2+a=[(1-x)/x]²+(2+a)

若m>n>0,且m²>n²>a,
F(m)-F(n)=[(1+m)/m]²-[(1+n)/n]²
=[(1+m)/m+(1+n)/n][(1+m)/m-(1+n)/n]
=[(n+mn+m+mn)/(mn)][(n+mn-m-mm)/(mn)]
=[(m+n+2mn)/mn][(n-m)/mn]<0 减函数
若m>n>0,且a>m²>n²,
F(m)-F(n)=[(1-m)/m]²-[(1-n)/n]²
=[(1-m)/m+(1-n)/n][(1-m)/m-(1-n)/n]
=[(n-mn+m-mn)/(mn)][(n-mn-m+mm)/(mn)]
=[(n-m-2mn)/(mn)][(n-m)/(mn)]>0 增函数

若0>m>n,且m²>n²>a,
......
若0>m>n,且a>m²>n²,
......
【这2步没有难度，自己做吧】

Answer 2

二分！

Answer 3

定义域x不等于0，因为第一项分母中包含1/x^2 f(x)是偶函数，因为包含X^2
第二问有点麻烦，不大好写