Question

急求高手解答一道微积分题目！！！！

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有f(a)=f(b)=0,f(c)>0(a<c<b),试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)<0

Answer 1

使用3次拉格朗日定理即可

详细过程请见下图

Answer 2

看图片

Answer 3

因 f(a)=0,f(c)>0，故必存ξ1∈(a,c),使f′(ξ1)=[f(a)-f(c)]/(a-c)>0
又 f(b)=0,f(c)>0,故必有ξ2∈(c,b),使f′(ξ2)=[f(b)-f(c)]/(b-c)<0
由于 f(x)在(a,b)内有二阶导数，必存在ξ∈(ξ1,ξ2) ，
使得 f ′′(ξ)=[f′(ξ1)-f′(ξ2)]/(ξ1-ξ2)<0