Question

如图,ΔABC为圆O的内接正三角形,点p为弧BC上一点，AP=a,请用含a的代数式表示四边形ABPC的面积。

可以不用三角函数吗

Answer 1

在AP上取一点Q，使PQ=PC，连结CQ，
〈APC=〈ABC=60度，（同弧圆周角相等），
则三角形PQC为等边三角形，
PC=CQ=PQ，
AC=BC，
〈ACB=〈QCP=60度，
〈ACB-〈QCB=〈QCP-〈QCB，
故〈BCP=〈ACQ，
△AQC≌△BPC，
AQ=BP，
所以BP+CP=AP=a,
<APB=<ACB=60度，（同弧圆周角相等）
<APC=<ABC=60度，
S△ABP=AP*BP*sin<APB/2
=BP*a*√3/4,
同理，
S△ACP=AP*CP*sin<APC/2
=CP*a*√3/4,
∴S四边形ABPC=S△ABP+S△ACP
=a*√3/4(BP+CP)
=a*√3/4AP
=√3/4a^2.

补充：不用三角函数，可作BE⊥AP，CF⊥AP，垂足分别为E、F，
〈BPA=〈BCA=60度，（同弧圆周角相等），〈EBP=30度，
PE=BP/2，（30度所对边为斜边的一半），
BE=√3PE=√3BP/2，
S△ABP=AP*BE/2=√3aBP/4,（1）
同理，S△ACP=AP*CF/2=√3aCP/4,（2）
（1）+（2），
S四边形ABPC=√3aBP/4+√3CP/4
=√3a(BP+CP)/4=√3a^2/4.