Question

高一数学函数问题，求过程。

若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=e^x，则有（）
A.f(2)＜f(3)＜g(0) B.g(0)＜f(3)＜f(2) C.f(2)＜g(0)＜f(3) D.g(0)＜f(2)＜f(3)

答案是D，求解题过程。没过程不采纳。谢谢。

Answer 1

因为 f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数
所以 f(-x) = -f(x) , g(-x) = g(x)
f(x) - g(x) = e^x (1)
f(-x) - g(-x) = e^(-x)
-f(x) - g(x) = e^(-x) (2)
(1)式 - （2)式得：
2f(x) = e^x - e^(-x)
所以 f(x) = [e^x - e^(-x)]/2
所以 g(x) = -[e^x + e^(-x)]/2
所以
f(2) = [e^2 - e^(-2)]/2 ≈ 3.627
f(3) = [e^3 - e^(-3)]/2 ≈ 10.018
g(0) = -(e^0 + e^0)/2 = -1
所以 g(0) < f(2) < f(3)
所以 选 D

Answer 2

解：
由 f(x)-g(x)=e^x ① 得：
f(-x)-g(-x)=e^(-x)
∵函数f(x) g(x)分别是R上的奇函数、偶函数
∴f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x)
∴-f(x)-g(x)=e^(-x) ②
由①②解得：f(x)= {[e^(2x)]-1}/2e^x g(x)=-{[e^(2x)]+1}/2e^x

∵f(2)=(e^4-1)/2e^2 f(3)=(e^6-1)/2e^3 g(0)=-(e^0+1)/2e^0=-1

f(2)-f(3)=e^5-e-e^6+1<0

∴g(0)<f(2)<f(3)

故选：D

Answer 3

原始方法- -！！！！！！
定义域是R，那么必然有奇函数f(0)=0（奇函数特性），那么由题意g(0)=-1,
又由题意f(1)-g(1)=e，f(2)-g(2)=e^2,f(3)-g(3)=e^3,f(-1)-g(-1)=e^(-1),
f(-2)-g(-2)=e^(-2),f(-3)-g(-3)=e^(-3)
其中f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
联立f(2)-g(2)=e^2和f(-2)-g(-2)=e^(-2)得到
f(2)=(e^4-1)/(2e^2)
f(3)=(e^6-1)/(2e^3)
f(2),f(3)均大于-1
而f（2）-f(3)=[(e^9-e^8)+(e^4-e^3)]/(2e^6)>0（自己整理）
所以答案是D