Question

如图,A,B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是弧AB的中点，求证四边形OACB是菱形。

Answer 1

题目中C是短弧AB的中点
证明：因为 C是弧AB的中点
所以 弧AC=弧BC
所以 AC=BC ∠AOC=∠COB （在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ）
又 ∠AOB=120°
所以 ∠AOC=∠COB=60°,大角∠AOB=240°
所以 ∠ACB=120° （在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角）
又 CO=CO
所以 △AOC=△BOC （边角边）
所以 ∠OAC=∠CBO=60
所以 △AOC和△BOC是等边三角形
所以 AO=BO=AC=BC
所以 四边形OACB是菱形。
证毕

注意运用圆心角的性质及相关定理推论和菱形的判定定理

Answer 2

解：连结OC。
∵C为弧AB的中点，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°，
∵AO=BO=CO（圆O的半径），
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=AO，
∴AC=OB=BC=AC,
∴四边形AOBC是菱形。

Answer 3

连接oc，因为角cob等于60度，角coa等于60度。又因为oc=oa，ob=oc。所以三角形aoc是等边三角形，所以abcd是菱形