Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2+1(a>b>0),和圆O:x^2+y^2=b^2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B，

（1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e
②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围
（2）设直线AB与x,y轴分别交于点M,N，求证 a^2/(ON^2)+b^2/(OM^2)为定值

Answer 1

我来补充一下，楼上回答的e的范围错了，应该是e≥√2/2

第（2）小题：
设A（x1,y1），B（x2,y2)，分别写出过A，B的切线方程PA：x1.x+y1.y=b^2和PB：x2.x+y2.y=b^2，设P（x0,y0），则P是PA与PB的交点，故把P点坐标代入PA和PB的方程，即可发现直线AB的方程是x0.x+y0.y=b^2,分别令x=0和y=0,求出M、N两点的坐标，接下来就很容易得到该定值是a^2/B^2

Answer 2

pp

Answer 3

1，①依题意知，e=b/a
②易知四边形AOBP为矩形，再由AO=OB知其为正方形,所以OP=√2b.
那么椭圆的长半轴a≥√2b
离心率e≤√2/2
2,