Question

级数问题 高等数学

Answer 1

先证明(2), 在证明(1):

(2). 定义d(x,y) = |x-y|是距离, 则显然只要x不等于y, d(f(x),f(y)) < d(x,y).
若熟悉不动点理论, 知道f存在唯一不动点. 若不熟悉, 考虑d(x,f(x))作为x的函数是R上的连续函数且有下届, 因此有极小值(下确界), 故存在a, 对任意x满足d(a,f(a))<=d(x,f(x)), 必然, a就是不动点, 即a = f(a), 否则d(f(a),f(f(a)))<d(a,f(a))这导出矛盾.
再证xn收敛到a, 因为x(n+1)=f(x(n)), 故d(xn,a) > d(f(xn),f(a)) = d(x(n+1), a) >0 , 故序列d(xn,a)单调减小有下界, 故存在极限, 设 d(xn,a)的极限是s. 再序列xn一定存在收敛的子序列, 记为x(ni), 设其极限是y, 则d(x(ni),a)的极限也是s, 即s = d(y,a); 又d(x(ni+1),a)的极限也是s, 即s=d(f(y),f(a)), 因此, d(y,a) = d(f(y),f(a)), 因此必有y=a, 否则必有d(y,a) > d(f(y),f(a)); 再由y=a,知道s=0, 故d(xn,a)收敛到0, 因此xn收敛到a.
(1) 由(2)证(1)是简单的, 因为x(n+1) - xn是定号的, 所以绝对求和可以写成不带绝对值的求和...