Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2。（n∈Z*）

数列{bn}中，b1=1,点P（bn,bn+1}在直线x-y+2=0上 。
（1）求数列{an},{bn}的通项 an. bn。
（2）若cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn,并求满足Tn<167的最大正整数n。
求详细过程，尤其是Tn是怎么解出来的？

Answer 1

解：
（1）
n=1时，a1=S1=2a1-2 a1=2
Sn=2an-2
Sn-1=2a(n-1)-2
an=Sn-Sn-1=2an-2-2a(n-1)+2
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值，
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，an=2^n

bn-b(n+1)+2=0
b(n+1)-bn=2
b1=1
数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列。bn=2n-1

(2)
cn=anbn=2^n(2n-1)
Tn=2^1+3*2^2+5*2^3+7*2^4+...+(2n-1)2^n
2Tn=2^2+3*2^3+5*2^4+...+(2n-3)2^n+(2n-1)2^(n+1)
Tn=2Tn-Tn=-2^1-2*2^2-2*2^3-...-2*2^n+(2n-1)2^(n+1)
=2-2(2^1+2^2+2^3+...+2^n)+(2n-1)2^(n+1)
=2-4*(2^n-1)+(4n-2)2^n
=(4n-6)2^n+6
Tn<167
(4n-6)2^n+6<167
n最大为4