Question

椭圆C:x2/4+y2/3=1,过点M(-√3,0)的直线l交C于A,B两点,求AOB的面积最大值,及此时l的倾斜角

Answer 1

解：椭圆x²/4+y²/3=1，
若l⊥x轴,则l方程为x=-√3，把x=-√3代入椭圆方程可得A坐标为(-√3，√3/2)，B坐标为(-√3，-√3/2)，即|AB|=√3，则SAOB=√3×√3/2=3/2，
如果l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y=k(x+√3)，代入椭圆方程3x²+4k²(x+√3)²=12，整理得：
(3+4k²)x²+8√3k²x+12(k²-1)=0
x1+x2=-8√3k²/(3+4k²)，x1x2=12(k²-1)/(3+4k²)，(x2-x1)²=(x1+x2)²-4x1x2=48(k²-3)/(3+4k²)²，
(y2-y1)²=[k(x2-x1)]²，|AB|²=48(k²-3)(1+k²)/(3+4k²)²，
再利用原点到直线l的距离公式可求出距离d=√3k/√(1+k²)，从而得△AOB面积S=|AB|d/2，化简可得｜y1-y2|=√[(1-3/k²)/(4+3/k²)²]，因3/k²>0，故面积最大即是要上式值最大，即只有k无穷大，也即垂直于x轴时面积最大，上面已经计算出来了，AOB的面积最大值是3/2，此时l的倾斜角为90°。

追问

答案是根号3，角是arctan根号6/2或π-arctan根号6/2