三维柯西不等式,等式成立条件怎么求
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三维柯西不等式(a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2 <= (a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2)
、当且仅当a1/a2=b1/b2=c1/c2时等号成立。
、当且仅当a1/a2=b1/b2=c1/c2时等号成立。
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三维形式的柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2
证明:
左边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]
右边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)
根据均值不等式,有:
(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)
(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)
(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)
所以左边>=右边,当且仅当ae=bd,af=cd,bf=ce时,等式成立
证毕
证明:
左边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]
右边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)
根据均值不等式,有:
(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)
(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)
(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)
所以左边>=右边,当且仅当ae=bd,af=cd,bf=ce时,等式成立
证毕
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设两组数:(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)它们分别表示了三维空间中两个向量A和B可以发现,当A和B平行(方向相同或相反)时,柯西不等式取到等号,即存在一组不全为零的实数s和t使得sA+tB=0,这是柯西不等式取到等号的充分必要条件
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柯西不等式证明
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