Question

已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若（sinA-sinB）a+bsinB=（acosB+bcosA）sinC.
1.求C的大小
2.若△ABC的周长为12，求△ABC的面积的最大值

Answer 1

第一个问题：
∵（sinA－sinB）a＋bsinB＝（acosB＋bcosA）sinC，
∴结合正弦定理、余弦定理，有：
（a－b）a＋b^2＝［（a^2＋c^2－b^2）/（2c）＋（b^2＋c^2－a^2）/（2c）］c，
∴a^2－ab＋b^2＝c^2，∴（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）＝1/2，∴cosC＝1/2，∴C＝60°。
第二个问题：
∵a＋b＋c＝12，∴c＝12－（a＋b），
∴c^2＝144－24（a＋b）＋（a＋b）^2＝a^2＋b^2－2abcosC＝（a＋b）^2－3ab，
∴144＋3ab＝24（a＋b）≧48√（ab），∴48＋ab－16√（ab）≧0，
∴ab－16√（ab）＋64≧16，∴［√（ab）－8］^2≧16，
∴√（ab）－8≦－4，或√（ab）－8≧4，∴√（ab）≦4，或√（ab）≧12。
考虑到：a＋b＜a＋b＋c＝12，∴2√（ab）＜12，∴√（ab）＜6，∴√（ab）≦4，
∴ab≦16，于是：S(△ABC)＝（1/2）absinC≦（1/2）×4×（√3/2）＝√3。
∴△ABC的面积最大值是√3。

Answer 2

引用飘渺的绿梦2的回答：
第一个问题：
∵（sinA－sinB）a＋bsinB＝（acosB＋bcosA）sinC，
∴结合正弦定理、余弦定理，有：
（a－b）a＋b^2＝［（a^2＋c^2－b^2）/（2c）＋（b^2＋c^2－a^2）/（2c）］c，
∴a^2－ab＋b^2＝c^2，∴（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）＝1/2，∴cosC＝1/2，∴C＝60°。
第二个问题：
∵a＋b＋c＝12，∴c＝12－（a＋b），
∴c^2＝144－24（a＋b）＋（a＋b）^2＝a^2＋b^2－2abcosC＝（a＋b）^2－3ab，
∴144＋3ab＝24（a＋b）≧48√（ab），∴48＋ab－16√（ab）≧0，
∴ab－16√（ab）＋64≧16，∴［√（ab）－8］^2≧16，
∴√（ab）－8≦－4，或√（ab）－8≧4，∴√（ab）≦4，或√（ab）≧12。
考虑到：a＋b＜a＋b＋c＝12，∴2√（ab）＜12，∴√（ab）＜6，∴√（ab）≦4，
∴ab≦16，于是：S(△ABC)＝（1/2）absinC≦（1/2）×4×（√3/2）＝√3。
∴△ABC的面积最大值是√3。

答案最后应是4√3

Answer 3

∵在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知a-b=2,c=4,sinA=2sinB ∴由a/sinA=b/sinB，得a=2b ∴b=2→a=4 ∴sinA=√15/4 cosB=√﹙1－sin2B﹚=7/8 cosA=1/4 sinB=√15/8 三角形ABC的面积=2×1×√﹙42－12﹚／2=√15 sin(A－B)＝sinA。