Question

数列极限的定义的一个疑问！

根据数列极限定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，
|Xn - a|<ε
都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为
lim Xn = a 或Xn→a

我的疑问是如果一个数列是1,2,3,4，……到无穷，那么存在常数a=2对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N=1，使得当n=2>N=1时，
|X2 - 2|=0<ε
都成立，那么就称常数a=2是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于2。记为
lim Xn = a=2 或Xn→a=2

Answer 1

……这位同学，那个Xn是要任意的。
也就是说，从N开始到后面的任何数，它与2的距离都要小于一个任意的ε。
显然，若取ε为二分之一，那么▕3-2▕=1大于ε咯。
也就是说，你举得那个例子还是发散的。

Answer 2

注意是存在N，当n>N时，有 |Xn - a|<ε，才有Xn的极限为a
而你所举得只有N=1成立，不满足极限定义。