Question

怎么理解线代中 齐次线性方程组AX=0的基础解系中解向量的个数为n-r

Answer 1

当A满秩，即r(A)=n时：

显然Ax=0，只有唯一解（零解），基础解系中，解向量个数是0=n-r。

当A不满秩时，例如：

r(A)=n-1时

Ax=0，显然有一个自由变量。

因此，基础解系中，解向量个数是1=n-r。

依此类推，可以发现r(A)+解向量个数=n。

严格证明，可以利用线性空间的维数定理。

齐次线性方程组求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。

1、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束。

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

Answer 2

可以这样理解，当A满秩，即r(A)=n时
显然Ax=0，只有唯一解（零解），基础解系中，解向量个数是0=n-r

当A不满秩时，例如：
r(A)=n-1时，
Ax=0，显然有一个自由变量，
因此，基础解系中，解向量个数是1=n-r
依此类推，可以发现r(A)+解向量个数=n

严格证明，可以利用线性空间的维数定理