Question

常见整除的特性有哪些

Answer 1

整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

整除的性质
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①若a|b，a|c，则a|(b±c)。
②若a|b，则对任意c(c≠0)，a|bc。
③对任意非零整数a，±a|a=±1。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。
⑤如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。
⑥如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。
对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

Answer 2

整除
对于整数a和不为零的整数b，若存在整数m,使得a=mb,则称a能被b整除或者b整除a。此时也称a是b的倍数或b是a的约数，记为:b|a
被2整除数的特征
若一个整数的个位是偶数，即个位是0，2，4，6，8，则该数能被2整除。
推广：若一个整数的后两位能被4整除，则该整数能被4整除；
若一个整数的后三位能被8整除，则该整数能被8整除；
若一个整数的后四位能被16整除，则该整数能被16整除；
……
结论：

被3整除数的特征
若一个整数的数字和是3的倍数，则该整数能被3整除.
如：315的数字和是3+1+5=9，因为9是3的倍数，因此315能被3整除。
被5整除数的特征
若一个整数的个位能被5整除，即个位是0，5，则该数能被5整除。
推广：若一个整数的后两位能被25整除，则该整数能被25整除；
若一个整数的后三位能被125整除，则该整数能被125整除；
若一个整数的后四位能被625整除，则该整数能被625整除；
……
结论：

被9整除数的特征
若一个整数的数字和是9的倍数，则该整数能被9整除。
如：29817的数字和是2+9+8+1+7=27，因为27是9的倍数，因此29817能被9整除。
被11整除数的特征（奇偶位差法）
若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差（大减小）能被11整除，则该整数能被11整除。
如：178926：
奇数位数字和：6+9+7=22 偶数位数字和：2+8+1=11
因为22-11=11，11是11 的倍数，因此178926能被11整除。
被7、11、13整除数的特征（割减法）
若一个整数的末三位与末三位之前的整数的差（大减小）能被7（11、13）整除，则该整数能被7（11、13）整除。
如：10206
后三位是206，后三位之前是10，作差是206-10=196，因为196能被7整除，所以10206能被7整除。
被27、37整除数的特征
从个位起，每三位一节，将各节上的数求和，若该和能被27（37整除），则该整数能被27（37）整除。
如：2560437
因为2 + 560 + 437 = 999，999是27的倍数，也是37的倍数。因此2560437能被27和37整除。
被个位是9（k9=10k+9）的数整除数的特征
我们可以把9之前的数记为k，去掉个位数后，再加上“个位数×（k + 1）”连续反复该变换。 若结果=k9 ，则该整数能被k9整除。
下面举出几种实例
（1）被19整除数的判断：

（2）被39整除数的判断：

（3）被79整除数的判断：

若非零整数a=bc（b,c互质），则一个整数被a整除即能被b和c同时整除。
如：一个整数被6整除，即能同时被被2和3整除。
一个整数被15整除，即能同时被被3和5整除。