Question

高等数学交换积分次序

高等数学交换积分次序第一题求解释的过程，谢谢了哈

Answer 1

解：∵xf(x)在x∈[-π，π]的积分为常数，并设为A，有f(x)=(sinx)^3+A ①。为再次利用常数A，在①的两端同乘x、再对xf(x)求x∈[-π，π]的积分，故A=∫(x=-π，π)x(sinx)^3dx+∫(x=-π，π)Axdx ②。对②右边的积分，由于在积分区间，x(sinx)^3为偶函数、Ax为奇函数，利用其性质，有A=2∫(x=0，π)x(sinx)^3dx。再利用(sinx)^3=[3sinx-sin(3x)]/4，得A=4π/3【题中用的是x=π-t代换后再变形】，代入①即得