Question

已知一平面方程，和一些直线的各种方程（一般式、标准式、参数式）怎么分别判断他们的空间关系？

已知一平面方程，和一些直线的各种方程（一般式、标准式、参数式）怎么分别判断他们的空间关系？求解答

Answer 1

先找出平面的法向量，平面ax+by+cz=d的法向量（a,b,c）
再写出直线的方向放量，方程(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C,方向向量（A,B,C）
然后看这两个向量（a,b,c）、（A,B,C）
如果互相垂直，则平面和直线平行（此时会有(A-a)^2+(B-b)^2+(C-c)^2=a^2+b^2+c^2+A^2+B^2+C^2，你可以理解为当两向量落在XOY平面的x和y轴，他们有共同的起点，则他们构成直角三角形的两直角边，则斜边的平方等于两向量模（向量长）的平方和）
如果互相平行，则平面和直线垂直（此时会有A=ka，B=kb，C=kc）
其他则相交

Answer 2

根据平面方程，可以看出平面方程的法向量
根据直线的方程，可以看出直线的方向向量。
如果直线的方向向量和平面的法向量垂直的话，直线是平行与平面的
如果直线的方向向量和平面的法向量相互平行的话，那么直线是垂直于平面的

Answer 3

先找出平面的法向量，平面ax+by+cz=d的法向量（a,b,c）
再写出直线的方向放量，方程(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C,方向向量（A,B,C）
然后看这两个向量（a,b,c）、（A,B,C）
如果互相垂直，则平面和直线平行（此时会有(A-a)^2+(B-b)^2+(C-c)^2=a^2+b^2+c^2+A^2+B^2+C^2，你可以理解为当两向量落在XOY平面的x和y轴，他们有共同的起点，则他们构成直角三角形的两直角边，则斜边的平方等于两向量模（向量长）的平方和）
如果互相平行，则平面和直线垂直（此时会有A=ka，B=kb，C=kc）
其他则相交