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Answer 1

设M(2pt,2pt^2),t>0,
焦点F(0,p/2),M,N关于F对称，
∴N(-2pt,p-2pt^2)在C上，
∴(-2pt)^2=2p(p-2pt^2),p>0,
∴4t^2=2(1-2t^2),
∴t^2=1/4,t=1/2.
∴M(p,p/2),y'=x/p=1,
∴C的过M的切线方程是y-p/2=x-p,即y=x-p/2,
它过点(0,-1/2),∴-1/2=-p/2,p=1,
∴C:x^2=2y.①
(2)设l:y=kx+b,代入①，得x^2-2kx-2b=0,②
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k,x1x2=-2b,

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+bk(x1+x2)+b^2
=-2bk^2+2bk^2+b^2=b^2,
∴kOA*kOB=y1y2/(x1x2)=-b/2=-2,b=4,
由②，△=4k^2+32，
|AB|=√[△(k^2+1)],O到l的距离d=4/√(k^2+1),

∴(1/2)|AB|d=2√△=16，
∴k^2+32=64,k^2=32,k=土4√2，
∴l:y=土4√2x+4.