Question

设a，b，c为实数，请用综合法或分析法求证：a²＋b²+c²≥ab+bc＋ca

设a，b，c为实数，请用综合法或分析法求证：a²＋b²+c²≥ab+bc＋ca如题

Answer 1

综合法：

因为(a-b)²≥0，(b-c)²≥0，(c-a)²≥0
所以(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0
所以a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≥0
所以2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ca
分析法：
要证a²＋b²+c²≥ab+bc＋ca
只需证a²＋b²+c²-ab-bc-ca≥0
只需证2a²＋2b²+2c²-2ab-2bc-2ca≥0
只需证(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)≥0
只需证(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0
因为(a-b)²≥0，(b-c)²≥0，(c-a)²≥0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0成立
因此a²＋b²+c²≥ab+bc＋ca

Answer 2

这道题不是很简单么...

a²+b²≥2ab
a²+c²≥2ac
b²+c²≥2bc
相加,2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc),即a²+b²+c²≥ab+ac+bc
等号成立条件是a=b=c

Answer 3