Question

如图,若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点o,且OA=OB=OC=OD

如图,若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点o,且OA=OB=OC=OD=2分之根号2AB，则四边形ABCD是正方形吗？

（图就是一个正方形ABCD，两条对角线为AC,BD，对角线交点为O）

Answer 1

解：四边形ABCD是正方形。
理由：在⊿0AB中，
OA=OB=√2/2AB
∵OA²＋OB²=（√2/2AB）²＋（√2/2AB）²
=1/2 AB²＋1/2 AB²
=AB²
∴⊿ABC是直角三角形，∠AOB=90º
∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,且∠AOB=90º
∴AC⊥BD
又：OA=OB=OC=OD
∴四边形ABCD是菱形。
∵OA=OB,∠AOB=90º
∴∠OAB=∠OBA=45º
同理可证：∠OAD=∠ODA=45º
∠OAB＋∠OAD=90º
即：∠BAD=90º
∴四边形ABCD是正方形。

Answer 2

是呀，先证明是长方形，再证明有一角为直角，最后证明四边相等。

Answer 3

∵OA=OB=OC=OD= √2AB/2
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90。
∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA均为等腰直角三角形
∴AB=BC=CD=DA且∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90。
∴四边形ABCD为正方形

Answer 4

解：四边形ABCD是正方形。
理由：在⊿0AB中，
OA=OB=√2/2AB
∵OA²＋OB²=（√2/2AB）²＋（√2/2AB）²
=1/2 AB²＋1/2 AB²
=AB²
∴⊿ABC是直角三角形，∠AOB=90º
∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,且∠AOB=90º
∴AC⊥BD
又：OA=OB=OC=OD
∴四边形ABCD是菱形。
∵OA=OB,∠AOB=90º
∴∠OAB=∠OBA=45º
同理可证：∠OAD=∠ODA=45º
∠OAB＋∠OAD=90º
即：∠BAD=90º
∴四边形ABCD是正方形。

我才是原创，回答者： hf010209 - 六级 2010-11-9 13:43 是抄袭的