Question

如何利用球面坐标计算下列三重积分？

三重积分∫∫∫Ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中Ω为球体x2+y2+(z-a)2≤a2。

Answer 1

答：32πa⁵/15

方法一：标准球坐标
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dV = r²sinφ drdφdθ
Ω方程变为：r = 2acosφ
由于整个球面在xOy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15

方法二：广义球坐标
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dV = r²sinφ drdφdθ
Ω方程变为：r = a
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
后面2arcosφ* r²部分的积分应该等于0
剩下r² * r²就好算了

方法三：平移，其实跟广义极坐标一样原理
x = u
y = v
z = a + w
dV = dudvdw
Ω方程变为：u²+v²+w² = a²
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫_(Ω') (u²+v²+(a+w)²) dudvdw
= ∫_(Ω') (u²+v²+w²+a²) dudvdw + ∫_(Ω') 2aw dudvdw
后面那个利用对称性得结果为0，前面的可直接用球坐标
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15

Answer 2