Question

高等数学中，条件收敛和绝对收敛有什么区别？怎么理解这两个收敛？

Answer 1

一、概念

对任意项级数

 收敛

,若

 也收敛我们称为绝对收敛

如果

 收敛而  不收敛，那么这个级数就是条件收敛的

二、含义

如果绝对收敛那么Un一定是递减的，

且 是有界的。

绝对收敛和条件收敛的级数本身都是收敛的。

三、判断

第一步，对于任意数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件

既lim(n->∞）Un = 0

并判断级数是正级数。

第二步，如果级数确定为正级数

1.比较原则；

2.比式判别法，（适用于含  n！ 的级数）；

3.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）；

（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）

（这一段来自百度经验，他对级数收敛的判断很详细）

到这一步基本就能判定大多数常用级数了

一般正向级数收敛，那么他基本是绝对收敛的。

第三部、如果不是正级数，判断是否为交错级数

若不是正项级数，则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数：

最后、

如果既不是交错级数，又非正级数，可以为级数加上绝对值

通过正级数的方法判断是否绝对收敛。

到这里就基本可以判断一个级数是否收敛或者绝对收敛了。

如果遇见无法判断的级数，去参考专业文档。

四、条件收敛举例

（-1）^n (1/n)

-1 , 1/2 ,-1/3.......

这个级数就是条件收敛的，他的绝对值求和是发散的

只能判断该级数收敛，却没办法确定他是收敛点。

Answer 2

极限收敛但不是绝对收敛的无穷级数或积分被称为条件收敛的。在无穷级数的研究中，绝对收敛性是一项足够强的条件，许多有限项级数具有的性质，在一般的条件收敛下的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛下的无穷级数才会具有该性质。
例如：
1.任意重排一个绝对收敛的级数之通项的次序，不会改变级数的和。
2.两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积。
3.绝对收敛的无穷级数或积分一定是条件收敛的，反之则不一定成立，因此条件收敛是绝对收敛的一个必要条件。