Question

求这个极限的解题过程

Answer 1

x->0
arctanx ~ x -(1/3)x^3
x-arctanx ~ (1/3)x^3
------
arcsinx ~ x+(1/6)x^3
x-arcsinx ~ -(1/6)x^3
----------
lim(x->0) (x-arctanx)/(x-arcsinx)
=lim(x->0) (1/3)x^3/ [-(1/6)x^3]
=-2

追问

书本上的答案是2。还想请问这是什么方法

追答

2肯定不对， 答案是-2
这是Taylor's expansion, 到了大学会涉及的东西，或者
-----------------
lim(x->0) (x-arctanx)/ (x-arcsinx) (0/0)
分子，分母分别取导
=lim(x->0) (1-1/(1+x^2))/ [1-1/√(1-x^2)]
=lim(x->0) x^2.√(1-x^2)/{ (1+x^2).[√(1-x^2) -1 ] }
分子，分母同时乘以 [√(1-x^2) +1 ]
=lim(x->0) x^2.√(1-x^2) .[√(1-x^2) +1 ]/{ (1+x^2).(-x^2) }
=lim(x->0) -√(1-x^2) .[√(1-x^2) +1 ]/ (1+x^2)
=-√(1-0) .[√(1-0) +1 ]/ (1+0)
=-2