Question

第四小题，解微分方程，求大佬解答

Answer 1

令y'=p则y''=p'
原方程为xp'+xp²-p=0
p'=p/x -p²
-p'/p²=-1/px+1
d(1/p)/dx=-1/px+1
令z=1/p
则dz/dx=-z/x+1(*)
先求齐次方程dz/dx=-z/x
dz/z=-dx/z，ln|z|=-ln|x|+ln|C|
即z=C/x
由常数变易法，令z=C(x)/x
代入方程(*)得C'(x)=x
C(x)=x²/2 +C
故方程(*)的通解为z=x/2 +C /x
即1/p =x/2+C /x=(x²+2C)/2x
y'=p=2x/(x²+C1) (令C1=2C)
y'(2)=4/(4+C1)=1，C1=0
故y'=2x/x²=2/x
y=∫2/x dx=2ln|x|+C2
y(2)=2ln2+C2=2
C2=2-2ln2
故y=2ln|x|+2-2ln2