Question

怎么证明单调有界数列必有极限？

Answer 1

因为函数有界，所以函数的值域有界，所以函数值域必定有“最小上界” (supreme), S因为是单调函数,所以对应任意小的e>0, 必定存在N>0使得对于任意x>N, 都有 | f(x) - S | < e满足极限的定义。

设{x[n]}单调有界（不妨设单增）,那么存在M>=x[n]（任意n）。

所以{x[n]}有上确界,记作l。

对任意正数a,存在自然数N,使得x[N]>l-a。

因为x[n]单增,所以当n>=N时,l-a所以|x[n]-l|所以{x[n]}极限存在,为l。

证明

设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。

分类讨论，如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递增的，当n>N时，有xn=xN，因此对即{xn}收敛到xN。

如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界组成一个数集B，并取A=R/B。

Answer 2

同济课本上对这个定理的说明是: 对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下. 若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,从而得出这个数列必是收敛的,也就是有极限存在, 然后在数列满足的已知等式两边取极限假设为A,然后求方程解出A,这个A就是数列的极限值. 简单的说,就是跟根据这个准则然后寻找两个条件从而说明极限的存在,然后算出极限值.

Answer 3

下面介绍单增，单减同理

Answer 4

因为函数有界，所以函数的值域有界
所以函数值域必定有“最小上界” (supreme), S
因为是单调函数,所以对应任意小的e>0, 必定存在N>0使得对于任意x>N, 都有 | f(x) - S | < e
满足极限的定义.
亲
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追问

用极限定义证明需要找到N的值