Question

高等数学导数问题

第18大题，图二答案中那两条画线的步骤怎么求出来来的呢？我有点忘记前面的导数章节了。

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Answer 1

因 f 二阶可导， 上行红线用了罗必塔法则， 分子分母同对 h 求导。
下行红线处用恒等变形，变成定义法求导的式子。
分母 2 提出来，极限后分式
[f'(x0+h) - f'(x0-h)]/h = {[f'(x0+h) - f'(x0)] - [f'(x0-h) - f'(x0)]}/h
= {[f'(x0+h) - f'(x0)]/h + [f'(x0-h) - f'(x0)]/(-h)

追问

能否写给我

我就是你那第一步的怎么化出来的不懂啊

追答

lim[f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h^2 (0/0, 用罗必塔法则，上下对 h 求导）
= lim[f'(x0+h)·1+f'(x0-h)·(-1)-0]/(2h)
= lim[f'(x0+h)-f'(x0-h)]/(2h)
= (1/2)lim[f'(x0+h)-f'(x0-h)]/h
= (1/2)lim[f'(x0+h)-f'(x0)-f'(x0-h)+f'(x0)]/h
= (1/2)lim{[f'(x0+h)-f'(x0)]/h - [f'(x0-h)-f'(x0)]/h}
= (1/2)lim{[f'(x0+h)-f'(x0)]/h + [f'(x0-h)-f'(x0)]/(-h)}
= (1/2)[f''(x0) + f''(x0)] = f''(x0)

追问

谢谢

Answer 2

A错在你忽略了洛必达法则使用的一个条件.
(1)当x→a时,f(x)和g(x)都趋向0
(2)在a的某个去心邻域内f(x)和g(x)都可导,并且恒有g'(x)≠0
(3)lim(x→a)f'(x)/g(x)存在
题目只说了f(x)在x这一点二阶可导,即f(h)在h=0处二阶可导,但0的邻域是否二阶导数存在你不知道,所以你不可以在第二步用洛必达,这就是A错的地方.

追问

你是傻 逼吗？

别答我题