高数齐次微分方程题。题目如图，写出详细过程在纸上？
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这道题考齐次微分方程的解法，其解法是固定的，需要进行换元，令y=ux，其中u是关于x的函数，然后将dy/dx转化成u加上xdu/dx，之后分离u和x，即可解出U，进而可以解出y。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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解：∵微分方程为xdy/dx=yln(y/x)，化为
dy/dx=(y/x)ln(y/x)
∴设y=ux，有dux/dx=ulnu，
u+xdu/dx=ulnu，
du/[u(lnu-1)]=dx/x，
ln|lnu-1|=ln|x|+ln|c|
(c为任意非零常数)，
lnu=cx+1
∴方程的通解为y=xe^(cx+1)
dy/dx=(y/x)ln(y/x)
∴设y=ux，有dux/dx=ulnu，
u+xdu/dx=ulnu，
du/[u(lnu-1)]=dx/x，
ln|lnu-1|=ln|x|+ln|c|
(c为任意非零常数)，
lnu=cx+1
∴方程的通解为y=xe^(cx+1)
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dy/dx=y/x ln(y/x)
令y/x=u，y=xu
dy/dx=u+x du/dx
代入原方程得
u+x du/dx=u lnu
x du/dx=u(lnu -1)
du/[u(lnu-1)]=dx/x
d(lnu)/(lnu-1)=dx/x
ln|lnu -1|=ln|x|+ln|c|
lnu -1=cx
lnu=cx+1
u=e^(cx+1)
即y=x e^(cx+1)，此即通解
令y/x=u，y=xu
dy/dx=u+x du/dx
代入原方程得
u+x du/dx=u lnu
x du/dx=u(lnu -1)
du/[u(lnu-1)]=dx/x
d(lnu)/(lnu-1)=dx/x
ln|lnu -1|=ln|x|+ln|c|
lnu -1=cx
lnu=cx+1
u=e^(cx+1)
即y=x e^(cx+1)，此即通解
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对x求导得
f'(x)+2f(x)=2x
即f'(x)=-2f(x)+2x
先求齐次方程f'(x)=-2f(x)
df(x)/f(x)=-2dx
ln|f(x)|=-2x+C
即f(x)=C e^(-2x)
由常数变易法，令f(x)=C(x) e^(-2x)
则f'(x)=C'(x) e^(-2x) - 2C(x) e^(-2x)
代入原方程得
C'(x)=2x e^(2x)
C(x)=∫2x e^(2x) dx
=∫xd[e^(2x)]
=x e^(2x)-∫e^(2x) dx
=x e^(2x)-½ e^(2x) +C
故原方程的通解为
f(x)=x - ½ +C e^(-2x)
将x=0代入题目中的方程，得f(0)=0
故f(0)=-½ +C=0，C=½
故f(x)=x - ½ +½ e^(-2x)
f'(x)+2f(x)=2x
即f'(x)=-2f(x)+2x
先求齐次方程f'(x)=-2f(x)
df(x)/f(x)=-2dx
ln|f(x)|=-2x+C
即f(x)=C e^(-2x)
由常数变易法，令f(x)=C(x) e^(-2x)
则f'(x)=C'(x) e^(-2x) - 2C(x) e^(-2x)
代入原方程得
C'(x)=2x e^(2x)
C(x)=∫2x e^(2x) dx
=∫xd[e^(2x)]
=x e^(2x)-∫e^(2x) dx
=x e^(2x)-½ e^(2x) +C
故原方程的通解为
f(x)=x - ½ +C e^(-2x)
将x=0代入题目中的方程，得f(0)=0
故f(0)=-½ +C=0，C=½
故f(x)=x - ½ +½ e^(-2x)
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