Question

求教一道数学题！最好会画图的！谢了！

已知在堎长为1的立方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1和BB1的的中点，那么，异面直线AM和CN所成的余弦值为多少？

不要只给个答案啊，请写下详细的过程
会画个图按照图来说给我听那是再好不过了
谢了！

Answer 1

解：如下图所示，取AA1中点E,C1D1中点F，连接ED，EN,DF,MF

      于是由NE‖AB，AB‖CD,得NE‖CD，且NE=CD，则四边形ENCD为平行四边形，

    所以NC‖ED

      同理，易得AM‖DF,

     所以∠EDF即为异面直线AM和CN所成夹角，

   在△EDF中，易得ED=DF=√5/2，EF=√6/2

   由余弦定理，得cos∠EDF=（2*5/4-3/2）/2*5/4=2/5

    题目没交代清楚，如果是两条异面直线所成角的余弦值，那么答案是2个 ，即2/5或-2/5，

  如果是夹角余弦值，就一个 ，即2/5。

  刚才EF值算错了，不好意思。

Answer 2

不好意思，我的word工具没有三维效果图。。。
解：画一个正方体，下面四点为ABCD,上面对应的点为A1B1C1D1
把AM的M点平移到B点，A点变为E，即AM=EB
把CN的M点平移到B点，C点变为F，即CN=FB
再连结EF，则△BEF的两边为异面直线AM和CN所成的三角形（等腰三角形），∠EBF为所成角
因为棱长=1，根据勾股定理得
BE²=(1/2)²+1²=5/4，BF²=(1/2)²+1²=5/4，EF²=(1/2)²+1²+(1/2)²=3/2
∴BE=√5/2，BF=√5/2，EF=√6/2
因为BEF为等腰三角形（拿到平面上，作BP⊥EF），EP=FP=1/2EF=√6/4，
则设所成角∠EBF=2X，则∠EPF=X，
sinX=（√6/4）/（√5/2）=√30/10
∵cos2X=1-2sin²X=1-2×(√30/10)²=2/5
即异面直线AM和CN所成的角∠EBF的余弦值为2/5
所成角有2个，∴cos（π-2X）= -cos2X=-2/5

Answer 3

其实这题简单的，过N点作AM的平行线交AB于O点，连接OC。

所以异面直线AM和CN所成的角为∠CNO

由题意可得CN=根号5/2，OC=根号17/4,ON=根号5/4均由勾股定理求的

所求值根据余弦定理得到。

答案为正负0.4