Question

求助一道高数曲面积分题

Answer 1

补充平面 ∑1 : z = 1 （x^2+y^2 ≤ 1）, 取上侧，
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<∑1> 前者用高斯公式，后者 z = 1， dz = 0，
I = ∫∫∫<Ω>(2x+1)dv - ∫∫< x^2+y^2≤ 1 > dxdy,
Ω 关于 yOz 坐标平面对称，x 的奇函数积分为 0，则
I = ∫∫∫<Ω>dv - ∫∫< x^2+y^2≤ 1 > dxdy
= ∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dt∫<0, √z> rdr - π
= ∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dt[r^2/2]<0, √z> - π
= ∫<0, 1>dz∫<0, 2π>(z/2)dt - π
= π∫<0, 1>zdz - π = π/2 - π = - π/2, 选 C。