Question

一个简单的极值问题，如图？

Answer 1

设腰围为4x 则底面边长可以分别设为a，2x-a
则长为108-4x
因此体积为 a（2x-a）(108-4x)
=[-（a-x）^2 +x^2]（108-4x）
≤x^2（108-4x）
后面简单些可以求导，得出最大值。

或者开始就调整系数，使得三个因子的和为定值，然后用均值不等式也行。

Answer 2

设箱体长宽高分别为 a，b，c， 则腰围 2(b+c)
构造拉格朗日函数 F = abc+k(108-a-2b-2c), 归结为求此条件极值问题。
F'a = bc-k = 0 (1)
F'b = ac-2k = 0 (2)
F'c = ab-2k = 0 (3)
F'k = 108-a-2b-2c = 0 (4)
由 (2) (3) 得 b = c， 由 (1) (2) 得 a = 2b， 均代入 (4) 得
108 - 2b - 2b - 2b = 0， b = c = 18， a = 2b = 36
Vmax = 36×18×18 = 11664 cm^3