Question

请帮忙求解两道几何题

Answer 1

1、如图所示，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF、BF。

（1）、因为点O为△ABC的外心，所以CF为圆O直径，可知∠CAF=∠CBF=90°，

又因为点H为△ABC的垂心，OM⊥BC，所以AD⊥BC，BE⊥AC，

则有AF∥BE，AD∥BF∥OM，且点O、M分别为CF、BC的中点，

所以四边形AFBH为平行四边形，OM为△BCF的中位线，即有AH=BF=2OM。

（2）、因为题（1）已证∠CBF=90°，∠BAC=∠BFC=60°，四边形AFBH为平行四边形，

所以在∠BFC=60°的直角△BCF中有AH=BF=CF/2=CO=FO=AO。

2、如图所示，过点E作AG的垂线交圆O于点F，

连接AF、CF、QF，AF交圆O于点H，交CQ于点I，连接DH。

因为OA⊥MN，AG⊥EF，易知EF∥DH∥MN，AG垂直平分EF，

可知△AEF为等腰三角形，有AE=AF①，∠EAG=∠FAG，则有∠EAP=∠FAQ②，

由“同一圆中同弧所对的圆周角相等”可知∠BCD=∠BED，∠CFI=∠HDI=∠AQI，

再由∠CIF=∠AIQ可知△CIF∽△AIQ，有CI/AI=FI/QI，

又因为∠AIC=∠QIF，所以△AIC∽△QIF，有∠ACI=∠QFI，所以∠AEP=∠ACI=∠AFQ③，

由①②③可得△EAP≌△FAQ（ASA），所以有AP=AQ。

Answer 2

几何法