求解一道高数题
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分享一种解法。设Φ(x)=∫(a,x)f(t)dt，x∈(a,b)。根据导数的定义，Φ'(x)=lim(△x→0)[Φ(x+△x)-Φ(x)]/△x。
而，Φ(x+△x)-Φ(x)=∫(a,x+△x)f(t)dt-∫(a,x)f(t)dt=∫(x,x+△x)f(t)dt。
应用积分中值定理，有∫(x,x+△x)f(t)dt=(x+△x-x)f(ξ)=(△x)f(ξ)，其中，x<ξ<x+△x。
又，f(x)在(a,b)上连续，lim(△x→0)f(ξ)=f(x)。∴Φ'(x)=lim(△x→0)(△x)f(ξ)/△x=lim(△x→0)f(ξ)=f(x)。
供参考。
而，Φ(x+△x)-Φ(x)=∫(a,x+△x)f(t)dt-∫(a,x)f(t)dt=∫(x,x+△x)f(t)dt。
应用积分中值定理，有∫(x,x+△x)f(t)dt=(x+△x-x)f(ξ)=(△x)f(ξ)，其中，x<ξ<x+△x。
又，f(x)在(a,b)上连续，lim(△x→0)f(ξ)=f(x)。∴Φ'(x)=lim(△x→0)(△x)f(ξ)/△x=lim(△x→0)f(ξ)=f(x)。
供参考。
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用导数的定义证明的。
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人大月女
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这是参考过程
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