Question

高等数学无穷级数

求图片中的敛散性，若收敛求其和，谢谢。

Answer 1

分享一种解法，借助级数求和求解。
由比值判别法，有ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)[(2n+1)/2^(n+1)]/[(2n-1)/2^n]=1/2<1，∴级数∑(2n-1)/2^n收敛。
设S(x)=∑x^(2n-1)，n=1,2，……，∞。两边对x求导，有S'(x)=∑(2n-1)x^(2n-2)。∴∑(2n-1)x^(2n)=x²S'(x)。
又，易得S(x)的收敛区间为x∈(-1,1)。∴在其收敛区间，S(x)=x/(1-x²)。S'(x)=(1+x²)/(1-x²)²。
令x=1/√2【满足x∈(-1,1)条件】，原式=(1/2)(1+1/2)/(1-1/2)²=3。
供参考。

Answer 2

两者用比值审敛法
前者是1,后者是1/e
后者收敛，前者无法判定
由比较审敛知，若每第(2∧n+1)到(2∧(n+1))项均为1/(2∧(n+1)),并构成一数列
那么其s(2∧(n+1))=n+1
故上述数列构成的无穷级数(各项分别对应)，则级数的部分和数列没有极限
而所设数列各项均小于前者中的对应项
故前者发散

追问

详细一点可以吗，谢谢

Answer 3

不知阁下读过高中没有，等差等比数列，你直接求出前n项和，难道看不出来收敛吗？高考不考？

Answer 4