∫1/√(x²-a²)dx(a>0)求详细步骤,谢谢!

 我来答
爱教育爱思考2021
高能答主

2019-04-18 · 我是教育培训达人,专注于教育科技信息分享
爱教育爱思考2021
采纳数:92 获赞数:35179

向TA提问 私信TA
展开全部

∫1/√(x²-a²)dx=ln|x/a+√(x²-a²)/a|+C。具体解题过程如下:

解:令x=asect,x

∫1/√(x²-a²)dx=∫1/√((asect)²-a²)dasect

=∫1/√a²((sect)²-1)dasect

=∫1/√((sect)²-1)dsect

=∫1/√tant²dsect

=∫1/tantdsect

=∫sectdt

=ln|sect+tant|+C

因为sect=x/a,则tant=√(x²中简清-a²)/a

则∫1/√(x²-a²)dx=ln|sect+tant|+C=ln|x/a+√(x²-a²咐橡)/a|+C

扩展资料:

积分卖前的求解:F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C。

积分计算需要积分表,可根据被积函数的类型,在积分表内查得其结果,有时还要经过简单变形才能在表内查得所需的结果。

常见的积分表公式有:∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫secx²dx=tanx+C、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C、∫secxtanxdx=secx+C、∫1/(ax+b)dx=1/aln|ax+b|+C、∫1/(x²+a²)dx=1/a*arctan(x/a)+C、∫1/√(x²-a²)dx=ln|sect+tant|+C。

例题:∫5cosxdx=1/5*sinx+C、∫4secx²dx=1/4tanx+C。

参考资料来源:百度百科-积分公式

参考资料来源:百度百科-导数表

scarlett110870
高粉答主

2018-11-29 · 关注我不会让你失望
知道大有可为答主
回答量:2万
采纳率:71%
帮助的人:4774万
展开全部

追问
想问一下倒数第二步到最后一步是为什么?
追答
通分之后,变成对数的差,lna是常数,它和C1合并成了C
本回答被提问者采纳
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
qiushangren12
2019-10-29
知道答主
回答量:23
采纳率:0%
帮助的人:1.2万
展开全部

方法1

如上图 ,令x=asect  则sect = x/a , tant = √(x²-a²)/a

∫1/√(x²-a²)dx=∫1/√((asect)²-a²)dasect

=∫(a*sect*tant)/√a²((sect)²-1)dt

=∫(sect*tant)/√((sin²t+cos²t)/cos²t - cos²t/cos²友返李t)dt

=∫(sect*tant)/√tant²dsect

=∫sectdt                                      公式∫sect dt = ln|sect+tant|+c

=∫1/cost dt = ∫1/sin(t+PI/2)d(t+PI/2)     令k = t+PI/2

=∫1/sink dk = ∫1/(2sin(k/2)*cos(k/2)) dk = ∫1/tan(k/2)*cos²(k/2) d(k/2)

=∫sec²(k/2)/tan(k/2) d(k/2)       公式∫sec²t dt = tant+c

=∫1/tan(k/2) dtan(k/2)              公式∫1/t dt = ln|t|+c

=ln|tan(k/2)|+c                     注解tanx=sinx/cosx= 2sin²x/(2cosx*sinx) = (1-cos2x)/sin2x

=ln|1/sin(t+PI/2)-cos(t+PI/2)/sin(t+PI/2)|+c

=ln|1/cost+sint/cost|+c

=ln|sect+tant|+c

=ln|x/a+√(x²-a²)/a|+c

=ln|x+√(x²-a²)|-lna+c                  因为c为一个任意常量,加减任何一个常熟还是不改变c的常量性质,所以世春可以将lna省略掉

=ln|x+√(x²-a²)|+c


方法2:


如上图 ,令x=acsct  则csct = x/a , cott = √(x²-a²)/a

∫1/√(x²-a²)dx=∫1/√((acsct)²-a²)dacsct

=∫(-a*csct*cott)/√a²((csct)²-1)dt

=-∫(csct*cott)/√cott²dsect

=-∫csctdt                                      公式∫csct dt = ln|csct-cott|+c

=-ln|x/a-√(x²-a²)/a|+c

=-ln|x-√(x²-a²)|+c

ln|x+√(x²-a²)| 与 -ln|x-√(x²-a²)| 的倒数都是1/√(x²-a²)  两者相差ln|a²|

证明 令 y = ln|x+√(x²-a²)| - (-ln|x-√(x²-a²)|)

则 y = ln|(x+√(x²-a²))*(x-√(x²-a²))| = ln|a²|















可以到这个网站去查好迟询函数的倒数,按如下方法输入


高数在线全部课程可以在b站查看汤家凤老师的74小时的全部课程

已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
收起 1条折叠回答
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式