dx、dy表示微分,可以拆开,对于参数方程,x=f(t),y=g(t),
对于参数方程,先求微分:dx=f'(t)dt,dy=g'(t)dt,
dy/dx=g'(t)/f'(t),
而如果先消去参数,t=fˉ¹(x),y=g(fˉ¹(x))
dy/dx=g'(fˉ¹(x))*fˉ¹'(x)=g'(fˉ¹(x))/f'(t)=g'(t)/f'(t),是一样的。
而二阶导数,注意是d²y/dx²,把dy/dx看成是新的“y”,x还是等于f(t),
所以应该这样:d(dy/dx)=[g'(t)/f'(t)]'dt=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)² dt
dx=f'(t)dt
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)³
函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。
扩展资料:
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
参考资料来源:百度百科——二阶导数
2024-11-14 广告