Question

有一些数学题目，请写过程

1. 设a，b和c为三个不同的一位数字。 等式（x - a）（x - b）+（x - b）（x - c）= 0的根之和的最大值是多少？
2. 正整数a和b使得y = ax + 5和y = 3x + b的图在相同点处与x轴相交。 这些交点的所有可能x坐标的总和是多少？
3. 丹尼卡驾驶她的新车旅行了整数个小时，平均每小时55英里。 在行程开始时，里程表上显示了里程，abc,是3位数的数字，a≥1和a + b + c≤7。在旅程结束时，里程表显示英里数为cba，是另外三位数的数字， a^2+b^2+c^2是多少？
4. xy坐标系中的格点是任何点（x，y），其中x和y都是整数。 对于所有m，y = mx + 2的图表没有经过格点，0 <x <100
使得1/2 <m <a。 a的最大可能值是多少？

Answer 1

1. (x-b)(2x-a-c)=0 

   x1 = b; x2=(-a-c)/2

   根之和x1+x2 = b-(a+c)/2.

   a,b,c为三个不同的一位数字，为使根值和为最大值，取b=9,a=1,c=2,得x1+x2的最大值为7.5。

2. 直线与x轴（y=0）相交：ax+5=0;3x+b=0。得：x=-5/a;x=-b/3。

   ∵在相同处与x轴相交

   ∴-5/a=-b/3

   即a*b=15

   ∵a和b都为正整数

   ∴a=1,b=15;

   a=3,b=5;

   a=5,b=3;

   a=15,b=1;

   由此求出相应的x坐标值分别为：-5，-5/3，-1，-1/3

   这些交点x坐标的总和为：-8

3. 里程表起始里程数=100a+10b+c;里程表结束里程数=100c+10b+a

   里程数=（100c+10b+a）-（100a+10b+c）=99c-99a

   驾驶小时=里程数/速度=(99c-99a)/55=9/5*(c-a)

   ∵驾驶小时为整数

   ∴c-a=5

   又∵a≥1，a+b+c≤7

   ∴ a=1,c=6,b=0

   a^2+b^2+c^2=37

4. 直线y=mx+2过点（0,2），当1/2 <m <a，x,y都为整数，且直线y不经过格点，直线的斜率在30°到45°之间，a=tan(45°）=1