Question

设向量组a1,a2,...,as的秩为r，证明其中任意选取m个向量构成向量组的秩>=r+m-s

Answer 1

向量组a1,a2,...,as的秩为r，所以其中存在一个含r个向量ai的线性无关的向量组。 不妨设 a1，．．．，ar， 线性无关。共r个向量。在此之外共s－r个向量。

其中任意取 m个向量，
如果 m＜＝ s－r， 自然有， m＋r－s＞＝0
如果 m＞s－r， 这m个向量中，最多有 s－r个不是 a1，．．．，ar之一。 所以至少有 m－（s－r）个向量都在a1，．．，ar之中。 而这m－（s－r）个向量线性无关。所以 这m个向量的秩 ＞＝ 其中的落在 a1，．．．，ar中的向量的秩 ＞＝ m－（s－r）＝r＋m－s