Question

计算二重积分根号下1-Y^2 ，其中D为X^2+Y^2=1及Y=|X|所围成的区域？

这题用极坐标怎么写 为什么我极坐标算的和答案不一样？

Answer 1

如果积分区域D是指y=|x与单位圆围成的上部区域， 其第1象限部分记为D1，则：

I = ∫∫<D>√(1-y^2)dxdy = 2∫∫<D1>√(1-y^2)dxdy

= 2∫<π/4, π/2>dt∫<0, 1>√[1-(rsint)^2] rdr

= -∫<π/4, π/2>(csct)^2dt∫<0, 1>√[1-(rsint)^2] d[1-(rsint)^2]

= (-2/3)∫<π/4, π/2>(csct)^2dt [1-(rsint)^2]^(3/2)<0, 1>

= (-2/3)∫<π/4, π/2>(csct)^2[(cost)^3-1]dt

= (-2/3){∫<π/4, π/2>[1-(sint)^2]dsint/(sint)^2 - [-cott]<π/4, π/2>}

= (-2/3){[-1/sint - sint]<π/4, π/2> - 1]

= (-2/3)[-2+3√2/2 -1] = 2-√2

二重积分意义：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

几何意义：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

阴影区域在哪？图不完全！
如果积分区域 D 是指 y = |x| 与单位圆 围成的上部区域， 其第 1 象限部分记为 D1，则
I = ∫∫<D>√(1-y^2)dxdy = 2∫∫<D1>√(1-y^2)dxdy
= 2∫<π/4, π/2>dt∫<0, 1>√[1-(rsint)^2] rdr
= -∫<π/4, π/2>(csct)^2dt∫<0, 1>√[1-(rsint)^2] d[1-(rsint)^2]
= (-2/3)∫<π/4, π/2>(csct)^2dt [1-(rsint)^2]^(3/2)<0, 1>
= (-2/3)∫<π/4, π/2>(csct)^2[(cost)^3-1]dt
= (-2/3){∫<π/4, π/2>[1-(sint)^2]dsint/(sint)^2 - [-cott]<π/4, π/2>}
= (-2/3){[-1/sint - sint]<π/4, π/2> - 1]
= (-2/3)[-2+3√2/2 -1] = 2-√2