Question

在曲线y=x的平方是某一点A处作一切使之与曲线以及x轴所围的面积为12分之1，求（1）切点A的坐标；（2）...

Answer 1

设切点坐标为(Xa,Ya)，则切线斜率为导数y'(Xa)
=
2Xa
切线方程为
y=2Xa*x-Xa^2
(*为乘号，Xa^2表示Xa的平方）
切线与X轴交点处x=Xa/2
先假定Xa大于0，切线曲线X轴所围面积为：
对x^2的积分（积分限为0到Xa/2）加上
对
x^2-2Xa*x+Xa^2的积分（积分限为Xa/2到Xa）
得：Xa=1
当Xa小于0，计算类似（仅上面积分限改变为Xa/2到0和Xa到Xa/2）得Xa=
-1
结果：
A为(1,1),切线y=2x-1
或
A为(-1,1),
切线y=-2x-1

Answer 2

解：设A为（a，a²）
∵y=x²的导数为y’=2x
∴A的切线方程为y=2a（x-a）+a²=2ax-a²
当y=0时，x=a/2
∴当a＞0时，
面积S=∫（0，a/2）x²dx+∫（a/2,a)（x²-2ax+a²）dx=[x^3/3]（0到a/2）+[x^3/3-ax²+a²x]（a/2到a）=1/12a^3=1/12
得a=1
当a＜0时，
S=S=∫（a/2，0）x²dx+∫（a,a/2)（x²-2ax+a²）dx=[x^3/3]（a/2到0）+[x^3/3-ax²+a²x]（a到a/2）=-1/12a^3=1/12
得a=-1
所以A点的坐标为（1,1），切线方程为y=2x-1
或者A为(-1,1),切线方程为y=-2x-1