Question

求三角函数sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 的推导过程

Answer 1

首先建立直角坐标系，在直角坐标系xOy中作单位圆O，并作出角a,b，与-b，使角a的开边为Ox，交圆O于点P1，终边交圆O于点P2，角b的始边为OP2，终边交圆O于点P3，角-b的始边为OP1，终边交圆O于点P4。这时P1，P2，P3，P4的坐标分别为：
P1（1，0）
P2(cosa,sina)
P3(cos(a+b),sin(a+b))
P4(cos(-b),sin(-b))
由P1P3=P2P4及两点间距离公式得：
^2表示平方
[cos(a+b)-1]^2+sin^2(a+b)
=[cos(-b)-cosa]^2+[sin(-b)-sina]^2
展开整理得
2-2cos(a+b)
=2-2(cosacosb-sinasinb)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
根据诱导公式sin(π/2-a)=cosa
得sin(a+b)=cos[π/2-(a+b)]=sinacosb+cosasinb

Answer 2

设锐角△abc,过c作cd⊥ab交ab于d点,则
△abc面积=ac*bc*sinc/2=cd*ab/2
ac*bc*sinc=cd*ab
sinc=(cd*ab)/(ac*bc)
sina=cd/ac,cosa=ad/ac,sinb=cd/bc,cosb=(ab-ad)/bc
sin(a+b)
=sin(180°-c)
=sinc
=(cd*ab)/(ac*bc)
=(cd*ab-cd*ad+cd*ad)/(ac*bc)
=[cd*(ab-ad)+cd*ad]/(ac*bc)
=(cd/ac)*[(ab-ad)/bc]+(ad/ac)*(cd/bc)
=sina*cosb+cosa*sinb
如果是钝角△,证明原理相同,直角则更好证明.
cos(-b)=cosb,sin(-b)=-sinb
sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb
sin(a-b)
=sin[a+(-b)]
=sina*cos(-b)+cosa*sin(-b)
=sina*cosb-cosa*sinb