Question

如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC,BD=6√2+6√6，求AB的长。

Answer 1

根据AE=EC=BE
可知三角形ABC是直角三角形
角BAC是90度
所以角DBC是30度
因为AB=AD
所以三角形ABD是等腰三角形
推出角BAD=150度
得出角CAD是60度
又因为AC=AD
所以三角形ACD是等边三角形
从c点向BD做垂线
交BD于点F
设
AB=AB=AD=CD=X
BC=√2X
CF=√2X/2
BF=√6X/2
DF=√2X/2
BF+DF=BD
求出X=12

Answer 2

根据AE=EC=BE
可知三角形ABC是直角三角形
角BAC是90度
所以角DBC是30度
因为AB=AD
所以三角形ABD是等腰三角形
推出角BAD=150度
得出角CAD是60度
又因为AC=AD
所以三角形ACD是等边三角形
从c点向BD做垂线
交BD于点F
设
AB=AB=AD=CD=X
BC=√2X
CF=√2X/2
BF=√6X/2
DF=√2X/2
BF+DF=BD
求出X=12

Answer 3

以a为圆心,ab为半径，做圆，则c、d在圆上
因为e为bc中点，且ae=ec
所以∠bac=90
又∠bac=3∠dbc
则∠dbc=30
由上知∠abc=45
则∠abd=15
cos15=√(（1+cos30)/2)=(√(2+√3))/2=(1+√3)/(2√2)
所以ab=1/2ad/cos∠abd=(1/2)*(6√2+6√6)/((1+√3)/(2√2))=6

Answer 4

作DF⊥AB交BA延长线于F
∵E是CB的中点，AE=EC
∴AE=EC=BE
∴∠BAE=∠ABE
∠ACE=∠CAE
∵
∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°
∴∠BAC=90°
∠ABE=45°
∵∠BAC=3∠DBC
∴∠DBC=30°
∴∠ABD=15°
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD=15°
∴
∠DAF=∠ABD+∠ADB=30°
在RT△ADF中
DF=
AD/2
AF²=AD²-DF²=AD²-(
AD/2)²=3/4
AD²
∴AF=√3/2
AD
∵AB=AD
∴DF=
AB/2
AF=√3/2
AB
BF=AB+AF=(1+√3/2)AB
RT△BDF中
BF²+DF²=BD²
∴[(1+√3/2)AB]²+(AB/2)²=(6√2+6√6)²
∴AB=12