Question

已知f(x)=x的3次方-3x,若过(1,m)点,(m不=-2)可作y=f(x)的三条切线,求m的取值范围.

Answer 1

设经过点(1,m)的切线与y=f(x)的切点为(x,y)=(x,x^3-3x),
则这条切线的斜率K=(y-m)/(x-1)=(x^3-3x-m)/(x-1)
又改切线的斜率K应等于f(x)在切点(x,y)处的导数f'(x)=3x^2-3
所以得到(x^3-3x-m)/(x-1)=3x^2-3
化解得到：2x^3-3x^2+m+3=0
有三条切线，也就是说上面的方程有三个不相等的实根。
{（注释）：一元三次方程aX＾3＋bX＾2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b＾2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c＾2－3bd，
总判别式：
Δ=B＾2－4AC
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B＾2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B＾2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B＾2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。}
显然，取第④种情况。
即对于2x^3-3x^2+m+3=0，其系数分别为a=2,b=-3,c=0,d=m+3,
A=b＾2－3ac=9；
B=bc－9ad=-9[2(m+3)]=-18(m+3)；
C=c＾2－3bd=9(m+3)
Δ=B＾2－4AC=[-18(m+3)]^2-4*9*9(m+3)=324(m+3)^2-324(m+3)
=324(m+3)(m+3-1)=324(m+3)(m+2)<0;
所以可以求得：-3<m<-2
打字写这种数学的东西真的是头疼啊！终于OK了！

Answer 2

设经过点(1,m)的切线与y=f(x)的切点为(x,y)=(x,x^3-3x),
则这条切线的斜率K=(y-m)/(x-1)=(x^3-3x-m)/(x-1)
又改切线的斜率K应等于f(x)在切点(x,y)处的导数f'(x)=3x^2-3
所以得到(x^3-3x-m)/(x-1)=3x^2-3
化解得到：2x^3-3x^2+m+3=0
有三条切线，也就是说上面的方程有三个不相等的实根。
{（注释）：一元三次方程aX＾3＋bX＾2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b＾2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c＾2－3bd，
总判别式：
Δ=B＾2－4AC
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B＾2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B＾2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B＾2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。}
显然，取第④种情况。
即对于2x^3-3x^2+m+3=0，其系数分别为a=2,b=-3,c=0,d=m+3,
A=b＾2－3ac=9；
B=bc－9ad=-9[2(m+3)]=-18(m+3)；
C=c＾2－3bd=9(m+3)
Δ=B＾2－4AC=[-18(m+3)]^2-4*9*9(m+3)=324(m+3)^2-324(m+3)
=324(m+3)(m+3-1)=324(m+3)(m+2)<0;
所以可以求得：-3<m<-2
打字写这种数学的东西真的是头疼啊！终于OK了！