Question

利用等价无穷小代换求极限

Answer 1

举个例子
（sinx-tanx）/x^3
x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x）
tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x
高阶无穷小
]
因为二者相减吧已知的部分都抵消掉了
剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶）
可能是x^2的等价无穷小
这是极限为∞
也可能是x^3的等价无穷小
这时极限为常数
如果是x^4的等价无穷小
那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x）
就是0了
还有比较特殊的情况
比如说sinx-tanx/x
x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o（x）/x
因为o（x）是x的高阶无穷小
所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候
代换时加上高阶无穷小余项