Question

已知：如图，D是BC上一点，P是AD上一点，∠ABP=∠ACP，∠BPD=∠CPD。求证：(1)BD=CD.(2)AD⊥BC

如图

Answer 1

证明：因为 角BPD = 角ABP + 角BAP
角CPD = 角ACP + 角CAD
并且，，∠ABP=∠ACP，∠BPD=∠CPD
所以 角CAD = 角BAP
因为 公共边AP
所以 三角形ABP 全等于 三角形ACP（角角边）
所以AB = AC,
又因为 公共边AD, 角CAD = 角BAD
所以 三角形ABD 全等于 三角形D（边角边）
所以 BD = CD， 角ADB = 角ADC
因为 角ADB+ 角ADC = 180度
所以 角ADC = 90度，所以 AD⊥BC

Answer 2

因为角ABP=∠ACP,∠BPD=∠CPD,所以∠BAP=∠CAP，又因为AP=AP，所以△ABP全等于△APC.
所以BP=PC,因为,∠BPD=∠CPD,所以BD=CD，AD⊥BC(三线合一)

Answer 3

证明：因为 角BPD = 角ABP 角BAP
角CPD = 角ACP 角CAD
并且，，∠ABP=∠ACP，∠BPD=∠CPD
所以 角CAD = 角BAP
因为 公共边AP
所以 三角形ABP 全等于 三角形ACP（角角边）
所以AB = AC,得角ABD等于角ACD，