设a>0,b>0,且a+b=1求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
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(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]
显然，随着ab值的增大，值会减小；
即ab取最大值时，(a+1/a)^2+(b+1/b)^2有最小值；
2ab<=a^2+b^2=1-2ab,所以，ab<=1/4,此时a=b=1/2;
将a,b带入原式，所以
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]
显然，随着ab值的增大，值会减小；
即ab取最大值时，(a+1/a)^2+(b+1/b)^2有最小值；
2ab<=a^2+b^2=1-2ab,所以，ab<=1/4,此时a=b=1/2;
将a,b带入原式，所以
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2
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