Question

f(x)= -x²+2x-1,试讨论f(5-x²)的单调性

Answer 1

y=f(5-x²)=-(5-x^2)^2+2(5-x^2)-1=x^4-10x^2+25+10-2x^2-1=x^4-12x^2+34=(x^2-6)^2-2y'=4x(x^2-6)=0
x=0,x=根号6,x=-根号6　　y(根号6)=-2,y(0)=34,y(-根号6)=-2
-2是其最小值，34是极大值。
所以当[-根号6，0]，[根号6，无穷大]是增函数，其它是减函数。

Answer 2

f(x)=-x²+2x-1
=-(x-1)²
所以f(5-x²)=-(4-x²)²
=
-(
(2-x)(2+x)
)²
由图象得
f(5-x²)
在（负无穷，-2）并（0，2）为增函数
在（-2，0）并（2，正无穷）为增函数

Answer 3

f(x)=-(x-1)^2
f(5-x²)=-（5-x^2-1)^2=-(4-x^2)^2=-(x^2-4)^2
f'(5-x^2)=-4x(x^2-4)
令f'(5-x^2)＞0，
解得x＜-2或0＜x＜2
所以函数在（-无穷，-2）和（0，2）递增
在（-2，0）和（2，+无穷）递减