Question

求y =1/(1+x)的间断点,并说明其类型

Answer 1

解：y=(1+x)arctan[1/(1-x²)]=(1+x)arctan{1/[(1+x)(1-x)}
首先，令分母等于零，得间断点在x=-1和x=1两处。
当x=-1时，考虑其间断点类型。
当x->-1时，1+x
->0，而|arctan{1/[(1+x)(1-x)}|->π/2，一个趋于零的乘以一个有界的，故极限
lim
(1+x)arctan[1/(1+x)(1-x)]=0
x->-1
也即其左右极限都存在，且极限值都为0。所以在x=-1处为第一类间断点，且为可去间断点。
当x=1时，考虑其间断点类型。
左极限
lim
(1+x)arctan[1/(1-x²)]
x->1-
=2*lim
arctan[1/(1-x²)]=2*π/2=π
x->1-
右极限
lim
(1+x)arctan[1/(1-x²)]
x->1+
=2*lim
arctan[1/(1-x²)]=2*(-π/2)=-π
x->1-
所以在x=1处也是第一类间断点，但因左右极限不相等，所以是跳跃间断点。

Answer 2

1.
我觉得题目应该是
f（x）=（x^2-1）/(x^2+3x+2)
不然就太简单了
x=-2,
无穷间断点（这个比较显然）
x=-1,
可去间断点（只要重新定义x=-1处函数值函数就连续了）
2.
x=0,
跳跃间断点（分别考虑x趋向0+和趋向0-的左右极限，发现极限都存在但不相等，具体是e和1/e）
3.
x=0,
可去间断点（x趋于0的极限存在，只要只要重新定义x=0处函数值函数就连续了）
在这里都可以看到
0q

Answer 3

解：因为函数在x=－1处没有定义，
所以x=-1是一个间断点，
又因为在x=－1处的左极限和右极限不等，
所以x=-1是函数的不可去间断点