Question

根据数列极限定义证明：lim(1/n^2)=0 n趋近于无穷大.

Answer 1

证明：任取ε＞0，要使|1/n²-0|=|1/n²|=1/n²＜ε，只要n²＞1/ε即可，于是取N=[1/√ε](取整函数的符号），当n＞N时，就有绝对值不等式|1/n²-0|＜ε恒成立，也即lim(1/n²)=0（n→∞)。

Answer 2

记数列的通项为xn，则x1=0.9＝1-1/10，xn=0.999...9＝1-1/10^n
证明lim(n→∞)
xn＝1
证明：|
xn-1|=1/10^n
对于任意的正数ε(ε＜1)，要使得|xn-1|＜ε，即1/10^n＜ε，只要n＞lg(1/ε)，所以取正整数n=[lg(1/ε)]，当n＞n时，恒有|xn-1|＜ε。所以lim(n→∞)
xn＝1