Question

函数f(x)定义域为R,且对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,则下列选项中不恒成立的是

A.f（0）=0
B.f（2）=2f（1）
C.f（1/2）=1/2f（1）
D.f（-x）f（x）＜0
证明下，，，简单证明能看懂就好了
选什么？、

Answer 1

A.取 x,y 均为0，代入得f(0)=2f(0),所以f(0)=0

B.取 x,y 均为1,可得

C.母鸡

D.取y=-x,得 f(x+y)=f[x+(-x)]=f(0)=0, 又f(x+y)=f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)
所以 f(x)+f(-x)=0, 即f(x)=-f(-x),即 f(x)是奇函数

所以f(x)和f(-x)互为相反数,所以它们的积积小于零!

综上，C不确定，就毙掉它吧！

Answer 2

解：由题设。（1）令x=y=0.则有f(0)=f(0)+f(0).===>f(0)=0.(2)令x=y=1.则有f(2)=2f(1).(3)令x=y=1/2.则有f(1)=2f(1/2).===>f(1/2)=(1/2)f(1).(4)∵f(0)=0,∴令x=0.则f(-0)f(0)=0.∴选D.