Question

已知A、B两点的坐标分别为(2根号3,0)(0,2),P是△AOB外接圆上的一点,且∠AOP

已知A、B两点的坐标分别为(2根号3,0)(0,2),P是△AOB外接圆上的一点,且∠AOP=45°，则点P的坐标为（ ）

Answer 1

由题意，得点P可能在第一象限或第四象限，且由∠AOP=45°可知，P点横纵坐标绝对值相等，可设为a。Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标（√3，1），P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2。当P点在第一象限时，（a-√3）²+（a-1）²=2²，舍去不合适的根，可得a=1+√3，
P（1+√3，1+√3）；当P点在第四象限时，（a-√3）²+（-a-1）²=2²，舍去不合适的根，可得
a= -1+√3，P（-1+√3，1-√3）

Answer 2

解：连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2√3 ，由勾股定理，得AB=4；
∵OP平分∠AOB，∴弧BP=AP ；
则△ABP是等腰Rt△，AP=2√2 ；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，则PQ=OQ；
设PQ=OQ=x，则AQ=2√3-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP2=AQ2+PQ2，即（2√3-x）2+x2=8；
解得x=√3+1，x=√3-1；
由于∠POA＞∠OAB，则PQ＞OB，即x＞2；
∴PQ=OQ=x=√3+1；
即P点坐标为（√3+1，√3+1）．

Answer 3

连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2√3 ，由勾股定理，得AB=4；
∵OP平分∠AOB，∴弧BP=AP ；
则△ABP是等腰Rt△，AP=2√2 ；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，则PQ=OQ；
设PQ=OQ=x，则AQ=2√3-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP2=AQ2+PQ2，即（2√3-x）2+x2=8；
解得x=√3+1，x=√3-1；
由于∠POA＞∠OAB，则PQ＞OB，即x＞2；
∴PQ=OQ=x=√3+1；
即P点坐标为（√3+1，√3+1）．

Answer 4

(2根号3,2) 要不了就是(2,2根号3)